Задачи на «Элементах» (№147)

Решение

Во всех предложениях встречаются утверждения двух сортов: о том, что нечто существует (как объект или как ситуация в какой-либо момент времени), либо о том, что нечто верно всегда, для всех объектов определенного класса. Например, предложение Каждый охотник желает знать, где сидит фазан относится ко второму сорту: оно утверждает, что для каждого из объектов вида охотник верно, что он желает знать, где сидит фазан. Будем называть такие высказывания утверждениями о всеобщности. Напротив, предложение И на старуху бывает проруха говорит, что существует ситуация прорухи, которая имеет место в отношении старухи. Такие высказывания назовем утверждениями о существовании.

Мы видим, что во всех предложениях делаются утверждения о всеобщности или о существовании — вот только иногда они устроены довольно сложно: внутри утверждения о всеобщности может быть утверждение о существовании, и наоборот. Например, в предложении На всякого Егорку есть поговорка делается утверждение о всеобщности: для каждого из объектов вида Егорка верно, что... Что? Что существует поговорка, которая относится к данному из Егорок. То есть, чтобы проверить, истинно ли то, что утверждает поговорка, надо перебрать всех Егорок на планете и для каждого из них узнать, есть ли на него поговорка. Мы видим, что численный индекс у этого предложения уже 2, а не 1 — видимо, по количеству конструкций со значением всеобщности или существования.

Итак, выдвинем гипотезу: чтобы определить численный индекс предложения, надо посчитать, сколько в нем встречается утверждений о всеобщности или существовании (вложенных друг в друга); для этого удобно (а иногда и просто необходимо) все предложения переформулировать по единому шаблону (с использованием конструкций для каждого ... верно, что ... и существует ..., который ...). Сделаем это:

Гипотеза подтвердилась; более того, можно выдвинуть предположение, что буквенный индекс отвечает тому, с чего начинается предложение — со слов для каждого или существует (другими словами, является ли оно утверждением о всеобщности или же о существовании). Действительно, все предложения, кроме 5-го и 9-го, получают тип Π, если начинаются со слов для каждого, и тип Σ, если начинаются со слова существует. Впрочем, 5-е и 9-е предложения имеют явное отличие от остальных — в них есть отрицание, частица не. Задумаемся, скажем, о смысле 9-го предложения: оно говорит, что ни один художник не может быть без горького, постоянного труда — то есть, что на самом деле все художники находятся в состоянии такого труда. Таким образом, отрицание не делает из утверждения о существовании (например, Бывают те, кто стал художником без горького, постоянного труда) утверждение о всеобщности — и наоборот. С учетом этой ремарки изменим наш анализ предложений 5, 9 и 10:

Перейдем теперь к анализу предложений из задания 2.

Если с первыми двумя предложениями всё вроде бы ясно, представленным анализом третьего предложения мы удовлетвориться не можем — ведь в условии требуется указать два разных типа. Как это возможно?

Наша переформулировка третьего предложения сделана весьма прямолинейно: мы просто заменили хотя бы на существует и добавили придаточных конструкций (мы делаем так, чтобы переформулированные предложения выглядели похожими друг на друга, строились по одному и тому же, пусть и довольно громоздкому, шаблону). Вдумаемся, однако, в смысл переформулированного предложения: существует какая-то одна задача (например, вот эта, «Всегда кто-то всё испортит!»), которую решил каждый читатель. Так действительно можно понять третье предложение — но есть и второй вариант понимания: каждый читатель решит хотя бы одну задачу, но, возможно, для разных людей эти задачи будут разными (скажем, Вася решит задачу «Всегда кто-то всё испортит!», а Маша — задачу «Шекспиру и не снилось!»). Переформулировка тогда будет выглядеть так:

Таким образом, третье предложение имеет два разных возможных значения и, как следствие, либо тип Σ2, либо тип Π2.

В предложении Сократ смертен из задания 3 отсутствуют утверждения о существовании или о всеобщности, поэтому численный индекс по общим правилам должен равняться нулю, а буквенный индекс мы присвоить ему не можем.

Пример предложения типа Σ3 привести легко, например: Бывают сказки, в которых каждый персонаж находит кого-то, с кем он счастлив.

Приступим наконец к анализу предложения из задания 5. Затруднение вызывает уточнение кроме одной, которое не позволяет говорить, что перед нами утверждение о всеобщности: действительно, предложение сообщает нам о том, что существует лекция, которую студент Обалдуев не проспал. Попробуем всё же переформулировать это предложение аналогично всем предыдущим:

Получилось трудное для восприятия предложения, но по структуре оно устроено так же, как и уже проанализированные: ‘существует нечто такое, что для любого чего-то верно что-то’.